Để chứng minh các phần trên, ta có thể sử dụng định lí đồng dạng và các tính chất của tam giác vuông.

a) Ta có:
\[ \frac{HB}{HA} = \frac{HB}{HC} = \frac{HA}{AC} \]
Do đó, tam giác HBA đồng dạng tam giác HAC.
Từ đây, ta có:
\[ AH^2 = HB \cdot HC \]

b) Gọi I là trung điểm của AH, ta có BI song song với m (vì m vuông góc với BI).
Khi đó, ta có:
\[ \angle PCI = \angle BCI = \angle BHI = \angle PHI \]
Vậy góc PCI bằng góc PHK.
Từ tam giác PBI và tam giác PKI, ta có:
\[ \frac{PI}{PK} = \frac{BI}{BK} = \frac{CI}{CK} \]
\[ \frac{PI}{PK} = \frac{CI}{CK} \]
\[ PI \cdot HC = PK \cdot CH \]
Do đó, \( PI \cdot H = PK \cdot PC \)

c) Ta có:
\[ \angle AHP = \angle BHP = \angle BCP = \angle ACP \]
Vậy A là trung điểm của PH.