a) Ta có:
$\angle AHD = 90^\circ - \angle HAD = 90^\circ - \angle BAC = \angle ABC$
$\angle AED = 90^\circ - \angle ADE = 90^\circ - \angle ABC = \angle BAC$
Vậy ta có $\angle AHD = \angle AED$ nên tam giác $AHD$ đồng dạng với tam giác $AED$.
Do đó, ta có $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AH}{HD} = 1$.
Tương tự, ta có $\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AB}{BC}$.
Từ đó, suy ra tam giác $BED$ đồng dạng với tam giác $ADC$ và $\dfrac{BE}{AB} = \dfrac{BC}{AC}$.

b) Ta có $M$ là trung điểm của $BE$ nên $BM = ME$.
Do đó, tam giác $BHM$ đồng dạng với tam giác $BEC$ và $\angle BHM = \angle BEC$.
Vì $AH \perp BC$ nên $\angle AHM = 90^\circ - \angle BAC$.

c) Áp dụng định lí Ceva cho tam giác $ABC$ ta có:
$\dfrac{GB}{GC} \cdot \dfrac{HC}{HA} \cdot \dfrac{AD}{DB} = 1$
Vì $HD = HA$ nên $\dfrac{GB}{GC} = \dfrac{HD}{HA} + \dfrac{HC}{HA} = \dfrac{HD + HC}{HA} = \dfrac{DC}{AC} = \dfrac{BC - BD}{AC} = \dfrac{BC}{AC} - \dfrac{BD}{AC} = \dfrac{BC}{AC} - \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BC - AB}{AC} = \dfrac{BC}{AC} - \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BE}{AB}$
Vậy ta có $\dfrac{GB}{BC} = \dfrac{BE}{AB}$.