Để hai đồ thị y = x² và y = 2x + m cắt nhau tại hai điểm phân biệt và tiếp xúc nhau, ta cần giải hệ phương trình sau:

x² = 2x + m

Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần Δ = b² - 4ac > 0. Trong trường hợp này, a = 1, b = -2, c = -m.

Δ = (-2)² - 4*1*(-m) = 4 + 4m

Đồng thời, để hai đồ thị tiếp xúc nhau, ta cần phương trình có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi Δ = 0.

Vậy, ta có hệ phương trình:

x² = 2x + m
4 + 4m = 0

Giải hệ phương trình trên ta được:

4 + 4m = 0
⇒ m = -1

Vậy, giá trị của tham số m để đồ thị y = x² và y = 2x - 1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt và tiếp xúc nhau là m = -1.