Để tìm 5 chữ số tận cùng của số \(3^{999}\), ta chỉ cần tính \(3^{999} \mod 100000\).

Đầu tiên, ta tính \(3^{999} \mod 1000\) để giảm bớt số lượng phép tính:
\(3^1 \equiv 3 \mod 1000\)
\(3^2 \equiv 9 \mod 1000\)
\(3^3 \equiv 27 \mod 1000\)
\(3^4 \equiv 81 \mod 1000\)
\(3^5 \equiv 243 \mod 1000\)
\(3^6 \equiv 729 \mod 1000\)
\(3^7 \equiv 187 \mod 1000\)
\(3^8 \equiv 561 \mod 1000\)
\(3^9 \equiv 683 \mod 1000\)
\(3^{10} \equiv 49 \mod 1000\)
\(3^{11} \equiv 147 \mod 1000\)
\(3^{12} \equiv 441 \mod 1000\)
\(3^{13} \equiv 323 \mod 1000\)
\(3^{14} \equiv 969 \mod 1000\)
\(3^{15} \equiv 907 \mod 1000\)
\(3^{16} \equiv 721 \mod 1000\)
\(3^{17} \equiv 163 \mod 1000\)
\(3^{18} \equiv 489 \mod 1000\)
\(3^{19} \equiv 467 \mod 1000\)
\(3^{20} \equiv 401 \mod 1000\)
\(3^{21} \equiv 203 \mod 1000\)
\(3^{22} \equiv 609 \mod 1000\)
\(3^{23} \equiv 827 \mod 1000\)
\(3^{24} \equiv 481 \mod 1000\)
\(3^{25} \equiv 443 \mod 1000\)
\(3^{26} \equiv 329 \mod 1000\)
\(3^{27} \equiv 987 \mod 1000\)
\(3^{28} \equiv 961 \mod 1000\)
\(3^{29} \equiv 883 \mod 1000\)
\(3^{30} \equiv 649 \mod 1000\)
\(3^{31} \equiv 947 \mod 1000\)
\(3^{32} \equiv 841 \mod 1000\)
\(3^{33} \equiv 523 \mod 1000\)
\(3^{34} \equiv 569 \mod 1000\)
\(3^{35} \equiv 707 \mod 1000\)
\(3^{36} \equiv 121 \mod 1000\)
\(3^{37} \equiv 363 \mod 1000\)
\(3^{38} \equiv 89 \mod 1000\)
\(3^{39} \equiv 267 \mod 1000\)
\(3^{40} \equiv 801 \mod 1000\)
\(3^{41} \equiv 403 \mod 1000\)
\(3^{42} \equiv 209 \mod 1000\)
\(3^{43} \equiv 627 \mod 1000\)
\(3^{44} \equiv 881 \mod 1000\)
\(3^{45} \equiv 643 \mod 1000\)
\(3^{46} \equiv 929 \mod 1000\)
\(3^{47} \equiv 787 \mod 1000\)
\(3^{48} \equiv 361 \mod 1000\)
\(3^{49} \equiv 83 \mod 1000\)
\(3^{50} \equiv 249 \mod 1000\)
\(3^{51} \equiv 747 \mod 1000\)
\(3^{52} \equiv 241 \mod 1000\)
\(3^{53} \equiv 723 \mod 1000\)
\(3^{54} \equiv 169 \mod 1000\)
\(3^{55} \equiv 507 \mod 1000\)
\(3^{56} \equiv 521 \mod 1000\)
\(3^{57} \equiv 563 \mod 1000\)
\(3^{58} \equiv 689 \mod 1000\)
\(3^{59} \equiv 67 \mod 1000\)
\(3^{60} \equiv 201 \mod 1000\)
\(3^{61} \equiv 603 \mod 1000\)
\(3^{62} \equiv 809 \mod 1000\)
\(3^{63} \equiv 427 \mod 1000\)
\(3^{64} \equiv 281 \mod 1000\)
\(3^{65} \equiv 843 \mod 1000\)
\(3^{66} \equiv 529 \mod 1000\)
\(3^{67} \equiv 587 \mod 1000\)
\(3^{68} \equiv 761 \mod 1000\)
\(3^{69} \equiv 283 \mod 1000\)
\(3^{70} \equiv 849 \mod 1000\)
\(3^{71} \equiv 547 \mod 1000\)
\(3^{72} \equiv 641 \mod 1000\)
\(3^{73} \equiv 923 \mod 1000\)
\(3^{74} \equiv 769 \mod 1000\)
\(3^{75} \equiv 307 \mod 1000\)
\(3^{76} \equiv 921 \mod 1000\)
\(3^{77} \equiv 763 \mod 1000\)
\(3^{78} \equiv 289 \mod 1000\)
\(3^{79} \equiv 867 \mod 1000\)
\(3^{80} \equiv 601 \mod 1000\)
\(3^{81} \equiv 803 \mod 1000\)
\(3^{82} \equiv 409 \mod 1000\)
\(3^{83} \equiv 227 \mod 1000\)
\(3^{84} \equiv 681 \mod 1000\)
\(3^{85} \equiv 43 \mod 1000\)
\(3^{86} \equiv 129 \mod 1000\)
\(3^{87} \equiv 387 \mod 1000\)
\(3^{88} \equiv 161 \mod 1000\)
\(3^{89} \equiv 483 \mod 1000\)
\(3^{90} \equiv 449 \mod 1000\)
\(3^{91} \equiv 347 \mod 1000\)
\(3^{92} \equiv 41 \mod 1000\)
\(3^{93} \equiv 123 \mod 1000\)
\(3^{94} \equiv 369 \mod 1000\)
\(3^{95} \equiv 107 \mod 1000\)
\(3^{96} \equiv 321 \mod 1000\)
\(3^{97} \equiv 963 \mod 1000\)
\(3^{98} \equiv 889 \mod 1000\)
\(3^{99} \equiv 667 \mod 1000\)
\(3^{100} \equiv 1 \mod 1000\)

Vậy \(3^{999} \equiv 667 \mod 1000\).

Tiếp theo, ta tính \(3^{999} \mod 100000\):
\(3^{999} \equiv 667 \mod 100000\)

Vậy 5 chữ số tận cùng của số \(3^{999}\) là 00667.

Phân tích 00667 thành thừa số nguyên tố:
\(667 = 23 \times 29\)

Vậy phân tích thừa số nguyên tố của 00667 là \(23 \times 29\).