Để chứng minh rằng đa thức \(x^4 + x^2 + 1\) không có nghiệm, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử đa thức \(x^4 + x^2 + 1\) có nghiệm, tức là tồn tại một số thực \(a\) sao cho \(a^4 + a^2 + 1 = 0\).

Đặt \(y = a^2\), ta có phương trình \(y^2 + y + 1 = 0\).

Để giải phương trình bậc hai trên, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Áp dụng vào phương trình \(y^2 + y + 1 = 0\), ta có \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\).

\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\).

Vì \(\sqrt{-3}\) không phải là một số thực, nên phương trình \(y^2 + y + 1 = 0\) không có nghiệm.

Do đó, giả sử ban đầu là sai, ta kết luận rằng đa thức \(x^4 + x^2 + 1\) không có nghiệm.