1. Ta có:
- Theo định lí phân giác, ta có: $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{16+20}{20}=\frac{36}{20}=\frac{9}{5}$
- Từ đó suy ra: $AD=\frac{9}{5} \cdot BD$
- Ta có: $AB^2+BC^2=16^2+20^2=256+400=656=AC^2$
- Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{656}=8\sqrt{41}$
- Suy ra: $CD=AC-AD=8\sqrt{41}-\frac{9}{5}BD$
- Kẻ $CH \perp BD$ tại H, ta có: $CH \parallel AB$, suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác HCD, từ đó ta có: $\frac{CH}{CD}=\frac{BC}{AC}=\frac{20}{8\sqrt{41}}=\frac{5}{2\sqrt{41}}$
- Suy ra: $CH=\frac{5}{2\sqrt{41}}CD=\frac{5}{2\sqrt{41}}(8\sqrt{41}-\frac{9}{5}BD)=20-\frac{9}{5}BD$
2. Để tam giác ABC đồng dạng với tam giác HCD, ta cần chứng minh $\frac{AB}{HC}=\frac{BC}{CD}$
- Ta có: $\frac{AB}{HC}=\frac{16}{20-\frac{9}{5}BD}=\frac{16 \cdot 5}{100-9BD}=\frac{80}{100-9BD}$
- $\frac{BC}{CD}=\frac{20}{8\sqrt{41}}=\frac{5}{2\sqrt{41}}$
- Từ đó suy ra: $\frac{80}{100-9BD}=\frac{5}{2\sqrt{41}}$
- Giải phương trình trên ta được: $BD=\frac{40\sqrt{41}}{9}$
3. Diện tích tam giác HCD:
- Diện tích tam giác HCD $= \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CH=\frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{41}-\frac{9}{5}BD) \cdot (20-\frac{9}{5}BD)$
- Thay $BD=\frac{40\sqrt{41}}{9}$ vào ta tính được diện tích tam giác HCD.