Để tìm nghiệm của đa thức P(x) = x^4 + x^3 + x + 1, ta có thể sử dụng phương pháp chia tỷ lệ hoặc sử dụng định lí nhỏ Fermat.

Để sử dụng phương pháp chia tỷ lệ, ta giả sử nghiệm của đa thức là a/b với a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Ta thấy rằng nếu nghiệm tồn tại thì a phải là 1 hoặc -1, và b phải là 1 hoặc -1. Thử từng trường hợp, ta không thấy nghiệm nào thỏa mãn.

Để sử dụng định lí nhỏ Fermat, ta thấy rằng nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nó phải chia hết cho một số nguyên tố p. Thử với các số nguyên tố nhỏ, ta thấy rằng đa thức không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn 5.

Vậy nên, đa thức P(x) = x^4 + x^3 + x + 1 không có nghiệm nguyên.