Để tìm a sao cho độ dài đoạn thẳng MN là nhỏ nhất, ta cần tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng MN sao cho đường thẳng MN là tiếp tuyến với đường cong biểu diễn số phức z = a + (a-5)i.

Đường cong biểu diễn số phức z = a + (a-5)i là một đường thẳng song song với trục thực và cách trục thực một khoảng 5 đơn vị. Vì vậy, ta có thể biểu diễn đường cong này dưới dạng phương trình parametric là z(t) = t + (t-5)i với t thuộc R.

Để tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng MN sao cho đường thẳng MN là tiếp tuyến với đường cong z(t), ta cần tìm tại điểm nào trên đường cong z(t) có độ dốc bằng độ dốc của đoạn thẳng MN.

Độ dốc của đường cong z(t) tại điểm t có thể được tính bằng đạo hàm của phần thực và phần ảo của z(t) theo t, ta có:
dz(t)/dt = 1 + i

Độ dốc của đoạn thẳng MN có thể được tính bằng đạo hàm của phần thực và phần ảo của z theo a, ta có:
dz/da = 1 + i

Để độ dốc của đoạn thẳng MN bằng độ dốc của đường cong z(t), ta cần tìm giá trị của a sao cho dz/da = dz(t)/dt, tức là:
1 + i = 1 + i
=> a = 2

Vậy, để độ dài đoạn thẳng MN là nhỏ nhất, ta cần chọn a = 2.