a) Ta có:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{AH}{15} = \frac{12}{BC} \Rightarrow BC = \frac{15}{12} \cdot AH = \frac{5}{4} \cdot AH
\]
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AH}{12} = \frac{15}{BC} \Rightarrow BC = \frac{15}{12} \cdot AH = \frac{5}{4} \cdot AH
\]
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{AH} \Rightarrow \frac{15}{12} = \frac{BH}{AH} \Rightarrow BH = \frac{15}{12} \cdot AH = \frac{5}{4} \cdot AH
\]
Vậy tam giác AHB, tam giác CAB, tam giác CHA đồng dạng với tỉ số 5:4.

b) Từ đồng dạng của tam giác ta có:
\[
\frac{HB}{AB} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow \frac{HB}{15} = \frac{AH}{12} \Rightarrow HB = \frac{15}{12} \cdot AH = \frac{5}{4} \cdot AH
\]
\[
\frac{HC}{AC} = \frac{AH}{AB} \Rightarrow \frac{HC}{12} = \frac{AH}{15} \Rightarrow HC = \frac{12}{15} \cdot AH = \frac{4}{5} \cdot AH
\]
\[
AC = 12 \text{ cm}
\]

c) Ta có:
\[
CE = 5 \text{ cm}, CF = 4 \text{ cm}
\]
Vì tam giác CEF vuông nên ta có:
\[
CE^2 + CF^2 = EF^2 \Rightarrow 5^2 + 4^2 = EF^2 \Rightarrow EF = \sqrt{41} \text{ cm}
\]

d) Ta có:
\[
CE \cdot CA = 5 \cdot 12 = 60 \text{ cm}
\]
\[
CF \cdot CB = 4 \cdot 15 = 60 \text{ cm}
\]
Vậy ta có CE.CA=CF.CB.