Cho đoạn thẳng AC và đường thẳng d vuông góc với AC tại C

a) Ta có CM vuông góc với CB (vì đường tròn đường kính AB nên góc ACB = 90°), nên tứ giác CMHB là tứ giác nội tiếp. Do đó, góc BMC = góc BHC.

b) Ta có góc NAB = góc NKB (cùng chắn cung NA trên đường tròn đường kính AB), góc NKB = góc BHK (vì NK // AH), góc BHK = góc BHC (vì tứ giác CMHB là tứ giác nội tiếp). Vậy góc NAB = góc BHC.

c) Ta có góc NAB = góc BHC (đã chứng minh ở b), góc BHC = góc BHN (vì BH // AC), suy ra ba điểm N, B, H thẳng hàng.

d) Gọi O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác AHK. Ta có OA vuông góc với AH, OB vuông góc với BK, OC vuông góc với CK. Do đó, tứ giác OAKB là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý nửa cung, ta có O là trung điểm của NK.

Gọi x = OK = ON = OB = OA, y = OH, z = OC = r.

Theo định lý nửa cung, ta có MK = x, NH = y, AC = 2z.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ONH, ta có \(y^2 = x^2 + z^2 - 2xz\cos(\angle NOH)\).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OMK, ta có \(x^2 = z^2 + r^2 - 2zr\cos(\angle MOK)\).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ONM, ta có \(r^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos(\angle MON)\).

Từ ba công thức trên, ta có:

\(y^2 = x^2 + z^2 - 2xz\cos(\angle NOH)\) (1)

\(x^2 = z^2 + r^2 - 2zr\cos(\angle MOK)\) (2)

\(r^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos(\angle MON)\) (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta được:

\(r^2 + 2z^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2zr(\cos(\angle NOH) + \cos(\angle MOK) + \cos(\angle MON))\).

Do đó, \(\frac{1}{r} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2y} + \frac{1}{2z} = \frac{1}{MK} + \frac{1}{NH} + \frac{1}{AC}\).

Vậy điều cần chứng minh đã được chứng minh.