Để tính thể tích của hình trụ, ta cần biết diện tích xung quanh và chiều cao của hình trụ.

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính bằng công thức: \(2\pi rh\), trong đó r là bán kính và h là chiều cao.

Ta biết r = 6cm, và diện tích toàn phần gấp 2 lần diện tích xung quanh, nên diện tích toàn phần là: \(4\pi rh\).

Vì vậy, diện tích toàn phần của hình trụ là: \(4\pi \times 6 \times h = 24\pi h\).

Diện tích toàn phần của hình trụ cũng được tính bằng công thức: \(2\pi r^2 + 2\pi rh\).

Ta có: \(2\pi r^2 = 2\pi \times 6^2 = 72\pi\).

Vì diện tích toàn phần gấp 2 lần diện tích xung quanh, nên ta có: \(24\pi h = 2(2\pi r^2 + 2\pi rh)\).

Từ đó, ta tính được chiều cao h của hình trụ: \(24\pi h = 4\pi r^2 + 4\pi rh\).

\(24\pi h = 4\pi(6^2 + 6h)\).

\(24\pi h = 4\pi(36 + 6h)\).

\(24\pi h = 144\pi + 24\pi h\).

\(24\pi h - 24\pi h = 144\pi\).

\(0 = 144\pi\).

Vậy, không có giá trị hợp lệ cho chiều cao h của hình trụ. Điều này có nghĩa là không thể tính được thể tích của hình trụ với điều kiện đã cho.