Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH

Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí về hình học và tính chất của tam giác.

a) Ta có CF = 2AF, suy ra AF = 1/2 CF. Vậy F chia đoạn CF theo tỉ lệ 1:2. Do đó, F là trọng tâm của tam giác CDH (vì trọng tâm chia đoạn đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện theo tỉ lệ 2:1).

b) Vì AD = AH nên tam giác AHD là tam giác đều. Khi đó, ta có góc HAD = 60 độ. Do đó, góc HAC = 30 độ.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng HM với đường thẳng BC. Ta cần chứng minh ΔDMI = ΔCMH.

Ta có góc HMC = góc HAC = 30 độ và góc MHC = góc AHD = 60 độ. Vậy tam giác CMH và tam giác DMI có cùng một góc vuông tại M và cùng một góc 30 độ. Do đó, ta có ΔDMI = ΔCMH (theo trường hợp góc - cạnh - góc).

c) Ta cần chứng minh DI vuông góc với DH và HF = 1/3 DC.

Vì tam giác AHD là tam giác đều nên góc HAD = 60 độ. Do đó, góc HAC = 30 độ.

Gọi G là giao điểm của DI với DH. Ta cần chứng minh HG = 1/3 DC.

Ta có HG // DC (do DI // BC và BC // HG). Vì HG = 1/3 DC, ta có HF = 1/3 DC.

Vậy ta đã chứng minh được cả ba phần a, b, c.