Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lí về tiếp tuyến và đường chéo trong đường tròn.

a) Ta có: $\angle OMC = \angle ODC$ (cùng chắn cung OD trên đường tròn (O; R))

$\angle OMC = \angle OAC$ (tiếp tuyến AM)

$\angle OAC = \angle OAM$ (cùng chắn cung OA trên đường tròn (O; R))

$\angle OAM = \angle OMA$ (do tam giác OAM cân tại O)

$\angle OMA = \angle OMD$ (cùng chắn cung OM trên đường tròn (O; R))

$\angle OMD = \angle OHD$ (do tam giác OHD cân tại O)

Vậy ta có: $\angle OMC = \angle OHD$

Do đó, tam giác OMC đồng dạng với tam giác OHD.

Từ đó, ta có: $\frac{OH}{OM} = \frac{OM}{OC}$

$\Rightarrow OH = \frac{OM^2}{OC} = \frac{OM^2}{2R}$


b) Ta có: $\angle OMI = \angle OCI$ (do tam giác OMC đồng dạng với tam giác OHD)

$\angle OCI = \angle OAI$ (cùng chắn cung OC trên đường tròn (O; R))

$\angle OAI = \angle OMI$

Vậy ta có: $\angle OMI = \angle OAI$

Do đó, tứ giác MAIO là tứ giác nội tiếp.

Vậy bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc một đường tròn.

Như vậy, ta đã giải xong bài toán.