Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện Δ = 0.

Tính Δ của phương trình mx^2 - 2(m + 1)x + m + 1 = 0:
Δ = (-2(m + 1))^2 - 4m(m + 1)
= 4(m^2 + 2m + 1) - 4m(m + 1)
= 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 4m
= 4m

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần Δ > 0, suy ra 4m > 0, m > 0.

Để tính x1^2 + x2^2, ta sử dụng công thức Viète:
x1 + x2 = 2(m + 1)/m = 2 + 2/m
x1x2 = (m + 1)/m = 1 + 1/m

Ta có:
x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2
= (2 + 2/m)^2 - 2(1 + 1/m)
= 4 + 8/m + 4/m^2 - 2 - 2/m
= 2 + 6/m + 4/m^2

Vậy để x1^2 + x2^2 là một số nguyên dương, ta cần m thỏa mãn:
2 + 6/m + 4/m^2 là số nguyên dương.

Một số giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên là m = 1, m = 2, m = 3, ...

Vậy, để phương trình mx^2 - 2(m + 1)x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 là một số nguyên dương, ta cần m > 0 và m là một trong các giá trị 1, 2, 3, ...