Ta có hình vẽ như sau:

Gọi $N$ là giao điểm của $AC$ và $BM$.

Ta có $\angle OMA = \angle OBA = 90^\circ$ nên $OM \perp AB$.

Vậy $OM \parallel CE$ và $OM \parallel CD$ nên $CE \parallel CD$.

Do đó, ta có $\angle CDE = \angle CEM = \angle OMA = \angle OBA = 90^\circ$.

Vậy $CDME$ là hình chữ nhật.

Vậy $CD = ME$ và $CE = MD$.

Kẻ $CN \perp AB$ tại $N$.

Ta có $\triangle OAC \sim \triangle OBN$ (cùng vuông, góc).

Vậy $\dfrac{AC}{BN} = \dfrac{OC}{OB} = \dfrac{R/3}{R} = \dfrac{1}{3}$.

Vậy $BN = 3AC = R$.

Vậy $CN = BN - BC = R - R/3 = 2R/3$.

Vậy $CN = 2CE$.

Vậy $CN = 2MD$.

Vậy $DN = CM$.

Vậy $DN = CM = R/3$.

Vậy tam giác $CDN$ vuông tại $D$.

Vậy $\angle CDN = 90^\circ$.

Vậy $CD \perp AB$.

Vậy $CD$ là tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn $(O;R)$.

Tương tự, ta có $CE$ là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn $(O;R)$.

Vậy điều phải chứng minh.