Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, vẽ đường cao AH

a. Ta có:
$\angle ABH = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)
$\angle BAC = \angle BAH$ (cùng chắn cung BC)
$\angle ABC = \angle ABH$ (do tam giác ABC vuông tại A)
Vậy tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC theo góc.

b. Ta có:
$\angle ABH = \angle ABC$ (cùng chắn cung BC)
$\angle BAH = \angle BAC$ (cùng chắn cung AC)
Vậy tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC theo góc.
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABH:
$AH^2 = AB^2 + BH^2$
Áp dụng định lý đồng dạng ta có:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{BC}$
$\frac{AB}{AC} = \frac{BH}{AB}$
$AB^2 = AC.BH$
$AH^2 = AC.BH$
Vậy $AH^2 = HB.HC$

c. Ta có:
$HD = HA$
$HA = HE$ (do AE song song với HD)
Vậy $HD = HE$
Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AHD và tam giác AHE:
$AD^2 = AH^2 + HD^2$
$AE^2 = AH^2 + HE^2$
$AD^2 = AE^2$
Vậy $AD = AE$
Như vậy ta có $AE = AB$.