Cho x,y,z là các số thực dương không âm thỏa mãn

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x^3/y^3 + 8, y^3/z^3 + 8, z^3/x^3 + 8 ta có:

(x^3/y^3 + 8) + (y^3/z^3 + 8) + (z^3/x^3 + 8) >= 3∛[(x^3/y^3 + 8)(y^3/z^3 + 8)(z^3/x^3 + 8)]

= 3∛[(x^3y^3z^3 + 8y^3 + 8x^3)(z^3 + 8)(x^3 + 8)]

= 3∛[(x^3y^3z^3 + 8(x^3 + y^3 + z^3) + 64)(x^3 + y^3 + z^3 + 24)]

= 3∛[(x^3y^3z^3 + 8*3 + 64)(3 + 24)]

= 3∛[(x^3y^3z^3 + 88)(27)]

= 3∛[27x^3y^3z^3 + 2376]

= 3(27x^3y^3z^3 + 2376)^(1/3)

= 3(27x^3y^3z^3 + 2376)^(1/3)

Vậy ta có:

A >= 3(27x^3y^3z^3 + 2376)^(1/3) - 2/27(xy + yz + zx)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của A, khi đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 27x^3y^3z^3 + 2376.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x, y, z ta có:

xyz <= (x + y + z)^3/27 = 1

Vậy:

27x^3y^3z^3 + 2376 >= 27 + 2376 = 2403

Do đó:

A >= 3(2403)^(1/3) - 2/27(xy + yz + zx)

Với x + y + z = 3, ta có xy + yz + zx <= (x + y + z)^2/3 = 3

Vậy:

A >= 3(2403)^(1/3) - 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3(2403)^(1/3) - 2.