Tìm tất cả các cập số nguyên (x,y)

Để giải phương trình này, ta có thể chia thành các trường hợp nhỏ hơn để xử lý.

Trường hợp 1: x = 0
Khi x = 0, ta có: y^3 = 0
⇒ y = 0
Vậy cặp số nguyên (0,0) là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: y = 0
Khi y = 0, ta có: x^2 + 1 = 0
Phương trình không có nghiệm với y = 0.

Trường hợp 3: x, y ≠ 0
Chia cả hai vế của phương trình cho x^2y^2, ta được:
(1 + 1/x^2)(2 + 1/y^2) = 2(x + 1/x + 1)
Đặt a = x + 1/x, b = y + 1/y, ta có:
(1 + 1/x^2)(2 + 1/y^2) = 2(a + 1)
⇒ 2 + 1/x^2 + 2/y^2 + 1/(x^2y^2) = 2a + 2
⇒ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/(x^2y^2) = 2a
⇒ 1/x^2 + 1/y^2 + 1/(x^2y^2) ≥ 3
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
1/x^2 + 1/y^2 + 1/(x^2y^2) ≥ 3∛(1/x^2 * 1/y^2 * 1/(x^2y^2)) = 3
Do đó, phương trình không có nghiệm khi x, y ≠ 0.

Vậy cặp số nguyên (0,0) là nghiệm duy nhất của phương trình.