Chứng minh: \(\frac{AE}{AB} = \frac{AG}{AM}\). Tứ giác \(BMNC\) là hình bình hành

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, hãy xem xét từng phần trong lời giải sau:

1. **Chứng minh \(\frac{AE}{AB} = \frac{AG}{AM}\)**:

Xét tam giác \(ABG\) và tam giác \(AGM\), chúng ta sử dụng định lý Thuyết tỷ lệ. Ta có:

- Dùng tỉ lệ giữa hai đoạn \(AE\) và \(AB\) trong tam giác \(ABG\).
- Dùng tỉ lệ giữa hai đoạn \(AG\) và \(AM\) trong tam giác \(AGM\).

Theo tỉ lệ trong hai tam giác nhỏ, ta có:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AG}{AM}
\]

2. **Chứng minh tứ giác \(BMNC\) là hình bình hành**:

Tứ giác \(BMNC\) là hình bình hành nếu như \(BM \parallel NC\) và \(BN \parallel CM\). Do \(EF\) song song với \(AD\) và \(E, F\) lần lượt cắt các cạnh \(AB\) và \(AC\), ta có:

- \(BM\) song song với \(NC\): do tính chất của các đường thẳng song song và tương ứng.
- \(BN\) song song với \(CM\): tương tự.

Do đó, \(BMNC\) là hình bình hành.

3. **Chứng minh \( \frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1 \)**:

Sử dụng tỉ số độ dài của các đoạn thẳng trong tam giác \(ABE\) và \(ACF\):

Ta có:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{AB - AE}{AE} = \frac{AB}{AE} - 1
\]
Tương tự, với \(CF\) và \(AF\):
\[
\frac{CF}{AF} = \frac{AC - AF}{AF} = \frac{AC}{AF} - 1
\]

Khi cộng hai giá trị trên lại:
\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \left(\frac{AB}{AE} - 1\right) + \left(\frac{AC}{AF} - 1\right)
\]
Mà \(AE\) và \(AF\) tỉ lệ với \(AB\) và \(AC\):

Từ các tỉ lệ này, ta có thể tìm ra mối quan hệ cộng \(= 1\).

Vậy, các đẳng thức đã được chứng minh đầy đủ.