a) Ta có AM = MN (do M là trung điểm của AN) và AH = HM (do ∆ABC cân tại A và đường cao AH).
Ngoài ra, ta có ∠AMH = ∠NMB (cùng là góc nhọn), nên theo định lí cạnh-góc-cạnh, ta có tam giác AMH = tam giác NMB.

b) Ta có tam giác NMB cân tại N, nên BN = BM.
Vì M là trung điểm của BH, nên ta có BM = MH.
Do đó, BN = MH.
Nhưng ta cũng có AH = HM (do ∆ABC cân tại A và đường cao AH).
Vậy BN = AH.
Nhưng BN cũng là một cạnh của tam giác ∆BAN, nên BN < BA theo định lí tam giác.

c) Ta có tam giác AMH = tam giác NMB (đã chứng minh ở câu a), nên ∠BAM = ∠MAH.

d) Ta có M là trung điểm của AN, nên I là trung điểm của NC (do M là trung điểm của BH).
Vậy ta có A, H, I thẳng hàng do I là trung điểm của NC và H là đỉnh của tam giác ∆AHC.