Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC) có đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Kẻ IN vuông góc với BC

Giải:

a, Ta có $\angle ACB = 90^\circ$ và $\angle NIC = 90^\circ$ (do $IN \perp BC$), nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác NIC theo góc vuông - góc vuông.

Ta cũng có $\angle ACI = \angle BCI$ (do I là trung điểm của AC), nên tam giác ACI đồng dạng với tam giác BCI theo góc - góc.

Do đó, ta có $\frac{CA}{CI} = \frac{CB}{CN}$ hay $CA \cdot CN = CB \cdot CI$.

b, Ta có $AB^2 = AH \cdot AC$ (do tam giác ABC vuông tại A).

Do tam giác ABC đồng dạng với tam giác NIC, ta có $\frac{AB}{NI} = \frac{AH}{AC}$ hay $AB \cdot AC = AH \cdot NI$.

Do đó, $AB^2 = AH \cdot AC = AH \cdot (NI + IC) = AH \cdot NI + AH \cdot IC = AH \cdot NI + AH \cdot \frac{1}{2}AC = AH \cdot NI + \frac{1}{2}AB \cdot AC$.

Do tam giác ABC đồng dạng với tam giác NIC, ta có $\frac{AB}{NI} = \frac{AH}{AC}$ hay $AB \cdot AC = AH \cdot NI$.

Do đó, $AB^2 = AH \cdot AC = AH \cdot NI = (AH - NH) \cdot NI = AH \cdot NI - NH \cdot NI = AH \cdot NI - NH \cdot IC = AH \cdot NI - \frac{1}{2}AH \cdot AC = AH \cdot NI - \frac{1}{2}AB \cdot AC$.

Kết hợp hai công thức trên, ta có $AB^2 = \frac{1}{2}AB \cdot AC$ hay $AB = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(NB + NC) = \frac{1}{2}NB + \frac{1}{2}NC = NB^2 - NC^2$.

c, Ta có $\angle HAV = 90^\circ$ (do đường thẳng qua H vuông góc với AN).

Do tam giác ABC đồng dạng với tam giác NIC, ta có $\angle AHB = \angle CNI$.

Do đó, ta có $\angle AVB = \angle AHB = \angle CNI = \angle CNI = \angle ANI = \angle ANV$.

Vậy B là trung điểm của AV.