Để tìm số dư của \(12^{25} + 21^{52}\) khi chia cho 2014, ta sẽ sử dụng định lý Fermat như sau:

Theo định lý Fermat, nếu \(a\) và \(m\) là hai số nguyên tố cùng nhau, thì \(a^{m-1} \equiv 1 \pmod{m}\).

Trong trường hợp này, 2014 không phải là số nguyên tố, nhưng ta có thể phân tích 2014 thành tích của các số nguyên tố như sau: \(2014 = 2 \times 19 \times 53\).

Do đó, ta sẽ tính số dư của \(12^{25}\) và \(21^{52}\) khi chia cho 2, 19 và 53, rồi kết hợp kết quả để tìm số dư cuối cùng.

1. Số dư của \(12^{25}\) khi chia cho 2:
\(12^{25} \equiv 0 \pmod{2}\).

2. Số dư của \(12^{25}\) khi chia cho 19:
Sử dụng định lý Fermat với \(a = 12\) và \(m = 19\) (19 là số nguyên tố):
\(12^{18} \equiv 1 \pmod{19}\).
\(12^{25} = 12^{18} \times 12^7 \equiv 1 \times 12^7 \pmod{19}\).

Tính \(12^7 \pmod{19}\):
\(12^2 \equiv 144 \equiv 8 \pmod{19}\),
\(12^4 \equiv 64 \equiv 7 \pmod{19}\),
\(12^7 = 12^4 \times 12^2 \times 12 \equiv 7 \times 8 \times 12 \equiv 672 \equiv 3 \pmod{19}\).

Vậy, \(12^{25} \equiv 3 \pmod{19}\).

3. Số dư của \(12^{25}\) khi chia cho 53:
\(12^{25} \equiv 12 \pmod{53}\).

Tương tự, ta thực hiện các bước trên để tính số dư của \(21^{52}\) khi chia cho 2, 19 và 53.

Kết hợp kết quả ta sẽ có số dư cuối cùng của \(12^{25} + 21^{52}\) khi chia cho 2014.