Cho tam giác ABC nhọn có AB nhỏ hơn AC. Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC)

a) Ta có:
- $\angle ABH = \angle AEH$ (cùng bằng $90^\circ$)
- $\angle BAH = \angle HAE$ (cùng bằng $\angle A$)
- $AH = AH$ (cạnh chung)
Vậy tam giác ABH và tam giác AEH đồng dạng.

b) Ta có $HE = HB$, nên tam giác $HBE$ cũng là tam giác cân tại $H$. Do đó, ta có $BE = EH$.
Vậy, ta có $AE = AH + HE = AH + HB > AH + BE = AB > AC$ (do $AB < AC$).

c) Gọi $I$ là giao điểm của $EF$ và $CK$. Ta cần chứng minh $AH, CK, EF$ đồng quy, tức là $I, H, A$ thẳng hàng.
Ta có:
- $\angle EHF = \angle AHB = 90^\circ$ (do $HB \perp AC$)
- $\angle FHE = \angle HAB = \angle HAE = \angle HCK$ (do tam giác $ABH$ và $AEH$ đồng dạng)
Vậy $EF \parallel CK$.
Do đó, ta có $\angle EHI = \angle HCK = 90^\circ$, suy ra $I, H, A$ thẳng hàng.
Vậy ba đường $EF, CK, AH$ đồng quy.