Giá trị lớn nhất của hàm số y = (sin 2x−cos2x)^2 + cos4x

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = (sin 2x - cos 2x)^2 + cos 4x, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số này.

Đạo hàm của hàm số y theo x:
y' = 2(sin 2x - cos 2x)(2cos 2x + 2sin 2x) - 4sin 4x
y' = 4(sin 2x - cos 2x)(cos 2x + sin 2x) - 4sin 4x
y' = 4(sin^2 2x - cos^2 2x) - 4sin 4x
y' = 4(sin^2 2x - (1 - sin^2 2x)) - 4sin 4x
y' = 4(2sin^2 2x - 1) - 4sin 4x
y' = 8sin^2 2x - 4 - 4sin 4x

Để tìm điểm cực đại, ta giải phương trình y' = 0:
8sin^2 2x - 4 - 4sin 4x = 0
2sin^2 2x - 1 - sin 4x = 0

Đặt t = sin 2x, ta có:
2t^2 - 1 - 2t^2(1 - 2t^2) = 0
2t^2 - 1 - 2t^2 + 4t^4 = 0
4t^4 - 1 = 0
t^4 = 1/4
t = ±1/2

Vậy sin 2x = ±1/2, suy ra 2x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6
Vậy x = π/12, 5π/12, 7π/12, 11π/12

Để xác định điểm cực đại, ta cần kiểm tra giá trị của y tại các điểm cực đại và so sánh để tìm giá trị lớn nhất.

Khi x = π/12, y = (sin(π/6) - cos(π/6))^2 + cos(π/3) = (1/2 - √3/2)^2 + 1/2 = (1/4 - √3/2 + 3/4) + 1/2 = 1 - √3/2
Khi x = 5π/12, y = (sin(5π/6) - cos(5π/6))^2 + cos(5π/3) = (-1/2 - √3/2)^2 + 1/2 = (1/4 + √3/2 + 3/4) + 1/2 = 1 + √3/2
Khi x = 7π/12, y = (sin(7π/6) - cos(7π/6))^2 + cos(7π/3) = (-1/2 - √3/2)^2 + 1/2 = (1/4 + √3/2 + 3/4) + 1/2 = 1 + √3/2
Khi x = 11π/12, y = (sin(11π/6) - cos(11π/6))^2 + cos(11π/3) = (1/2 - √3/2)^2 + 1/2 = (1/4 - √3/2 + 3/4) + 1/2 = 1 - √3/2

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y = 1 + √3/2.