Chứng minh tam giác abm đồng dạng tam giác acn 

a) Ta có:
$\angle ABM = \angle ACN$ (do đường cao BM và CN cắt nhau tại h)
$\angle BMA = \angle CNA$ (cùng là góc vuông)
Vậy tam giác ABM đồng dạng tam giác ACN theo góc - góc.

b) Ta có:
$\angle AMN = \angle ABC$ (cùng là góc vuông)
$\angle ANM = \angle ACB$ (do tam giác ABM đồng dạng tam giác ACN)
Vậy tam giác AMN đồng dạng tam giác ABC theo góc - góc.

c) Ta có:
$\angle BHK = \angle BCK$ (cùng là góc vuông)
$\angle CBK = \angle HBK$ (do tam giác ABM đồng dạng tam giác ACN)
Vậy ta có $\triangle HBK \sim \triangle BCK$ theo góc - góc.
Tương tự, ta cũng có $\triangle HCK \sim \triangle BCN$ theo góc - góc.
Do đó, ta có $BH \cdot BM = BK \cdot BC$ và $CH \cdot CN = CK \cdot BC$.

d) Từ phần c), ta có:
$BH \cdot BM + CH \cdot CN = BK \cdot BC + CK \cdot BC = (BK + CK) \cdot BC = BC^2$.
Vậy điều phải chứng minh đã được chứng minh.