Cho vuông tại A có AB < AC. Trên cạnh BC, lấy điểm K sao cho BK=BA. Kẻ BD là đường trung tuyến của ΔABK

a) Ta có BK = BA (điều đã cho), BD là đường trung tuyến của ΔABK (điều cần chứng minh).
Vậy theo định lí đường trung tuyến, ta có BD = 1/2 AK.
Ta cũng có BD = 1/2 AB (vì BD là đường trung tuyến của ΔABK).
Do đó, ta có AK = AB, suy ra ΔABD = ΔKBD (theo bài toán tương đương).

b) Ta có BK = BA (điều đã cho), KM ⊥ BC (vì KM là đường thẳng vuông góc với BC).
Vậy ta có ΔBKM vuông cân tại K.
Do đó, ta có BM = BK = BA.
Tương tự, ta có KH = KC = AC.
Vậy ta có ΔBKH = ΔBAC (theo bài toán tương đương).

c) Ta có ΔBKH = ΔBAC (đã chứng minh ở câu b), suy ra KH = AC.
Vậy ta có ΔMHC cân tại M (vì MC = MH).

d) Ta có BD là đường trung tuyến của ΔABK, suy ra BD song song với AK.
Vậy ta có góc BDK = góc BAK = góc KAM.
Nhưng góc KAM = góc KMH (vì KM ⊥ BC), suy ra góc BDK = góc KMH.
Vậy ta có BM || KH.
Do đó, 3 điểm B, D, M thẳng hàng.