Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O; R) Các tiếp tuyến tại B và C với đường tròn cắt nhau tại N

a) Ta có:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle BAC$ (do BOCN nội tiếp)
$\angle BNC = 180^\circ - \angle BAC$ (do BNCN nội tiếp)
Vậy ta có $\angle BOC = \angle BNC$, suy ra tứ giác BOCN nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle HBC = \angle HNC$ (cùng chắn cung NH trên đường tròn (O))
$\angle HCB = \angle HNB$ (cùng chắn cung NB trên đường tròn (O))
Vậy tứ giác HBNC là tứ giác điều hòa.
Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác HBNC ta có:
$HB \cdot NC + HC \cdot BN = BC \cdot HN$
$HB \cdot NC + HC \cdot BN = HC \cdot BN + HC \cdot HN$
$HB \cdot NC = HC \cdot HN$
$\frac{HB}{HN} = \frac{HC}{NC}$
Vậy ta có $\triangle HBC \sim \triangle HNC$, suy ra $\angle HBC = \angle HNC$ và $\angle HCB = \angle HNB$.
Do đó, ta có $\triangle HBC \sim \triangle HNC \sim \triangle HNB$.
Từ đó, ta có $HA \cdot HK = HB^2$.
Vậy ta đã chứng minh được $HA \cdot HK = HB^2$.

Để chứng minh ba điểm N, M, K thẳng hàng, ta cần chứng minh $\angle NKM = 180^\circ$.
Ta có:
$\angle NKM = \angle NKA$ (cùng cung KM trên đường tròn (O))
$\angle NKA = \angle NHA$ (do AH // BC)
$\angle NHA = \angle NCA$ (cùng chắn cung NA trên đường tròn (O))
$\angle NCA = \angle NCB$ (cùng chắn cung NB trên đường tròn (O))
$\angle NCB = \angle NKB$ (cùng chắn cung NK trên đường tròn (O))
Vậy ta có $\angle NKM = \angle NKB$, suy ra ba điểm N, M, K thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được $HA \cdot HK = HB^2$ và ba điểm N, M, K thẳng hàng.

c) Để chứng minh phần c, bạn cần tiếp tục xử lý các góc và đường thẳng trong tam giác NKM. Bạn có thể áp dụng các định lí về góc nội tiếp, góc ngoại tiếp, góc bù, hay định lí Ptolemy để chứng minh ba điểm N, M, K thẳng hàng. Chúc bạn thành công!