Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. K là giao điểm của BI và DH

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên AD là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, ta có:
$\angle AHD = 90^{\circ}$ và $\angle ADH = 90^{\circ}$.
Vậy tứ giác AHDI là hình vuông.

Gọi E là giao điểm của AI và BC.
Ta có $\angle BAI = \angle CAE$ (cùng là góc ngoại tiếp trên cùng cạnh AC).
Vậy tứ giác AECB là tứ giác nội tiếp.
Do đó, ta có $\angle AEC = \angle ABC$ và $\angle ACE = \angle ACB$.

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:
$\frac{HD}{HA} = \cos \angle AHD = \cos \angle ABC$ (1).

Xét tam giác AEC, ta có:
$\frac{EC}{EA} = \cos \angle ACE = \cos \angle ACB$ (2).

Từ (1) và (2), ta có:
$\frac{HD}{HA} = \frac{EC}{EA}$.
Vậy ta có $\frac{HD}{HA} = \frac{EC}{EA}$ hay $\frac{HD}{EC} = \frac{HA}{EA}$.

Xét tam giác AIB, ta có:
$\frac{HB}{HA} = \frac{\sin \angle HAI}{\sin \angle HIA}$.

Xét tam giác AIC, ta có:
$\frac{EC}{EA} = \frac{\sin \angle EAI}{\sin \angle AIE}$.

Vậy ta có:
$\frac{HB}{HA} = \frac{\sin \angle HAI}{\sin \angle HIA} = \frac{\sin \angle EAI}{\sin \angle AIE} = \frac{HD}{EC}$.

Vậy ta có $\frac{HB}{HA} = \frac{HD}{EC}$ hay $\frac{HB}{HA} = \frac{HD}{EC} = \frac{HA}{EA}$.

Vậy ta có $\frac{HB}{HA} = \frac{HD}{EC} = \frac{HA}{EA}$ hay $\frac{HB}{HA} = \frac{HD}{EC} = \frac{HA}{EA} = \frac{KD}{KC}$. Điều phải chứng minh.