Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a^3 + b^3 = a^5 + b^5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a²-ab+b²

Ta có: a^5 + b^5 - a^3 - b^3 = (a^3 + b^3)(a^2 - ab + b^2) = 0

Do đó, a^2 - ab + b^2 = 0 hoặc a^3 + b^3 = 0

Nếu a^2 - ab + b^2 = 0, ta có: a^2 + b^2 - ab = (a - b)^2 ≥ 0

Do đó, a^2 + b^2 ≥ ab

Từ a^3 + b^3 = a^5 + b^5, suy ra a^2 + b^2 = a^4 + b^4

Vậy, a^4 + b^4 ≥ ab

Kết hợp với a^2 + b^2 ≥ ab, ta có: a^4 + b^4 + a^2 + b^2 ≥ 2ab

Từ đó, ta có: a^4 + a^2 + b^4 + b^2 ≥ 2ab

Hay: (a^2 + 1/2)^2 + (b^2 + 1/2)^2 ≥ 1/2

Do đó, giá trị lớn nhất của P = a²-ab+b² là 1/2, đạt được khi a = b = 1/√2.