Để chứng minh các phần a, b, c, ta có thể sử dụng định lí phân giác và các tính chất của tam giác vuông.

a) Ta có $\angle BHD = \angle BAH$ (do BD là phân giác của góc BAC) và $\angle BAH = \angle BHA$ (do tam giác ABH vuông tại A), suy ra tam giác ABH đều, từ đó $BA = BH$.

b) Ta có $\angle BHD = \angle BAH$ (do BD là phân giác của góc BAC) và $\angle BAH = \angle AHD$ (do tam giác ABH vuông tại A), suy ra tam giác AHD vuông tại A, từ đó BD vuông góc với AH.

c) Ta có $AB + AC = AB + AE = BE = BK + EK = BC + HK$ (do tam giác ABC vuông tại A và tam giác BHK vuông tại H).

d) Góc HAK bằng góc BAC (do BD là phân giác của góc BAC và vuông góc với AH), suy ra góc HAK bằng 45 độ.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c, d.