X^4-3x^2+9. chứng minh rằng đa thức ko có nghiệm

Để chứng minh rằng đa thức không có nghiệm, ta cần chứng minh rằng đa thức không thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất.

Giả sử đa thức có nghiệm, tức là tồn tại hai đa thức bậc nhất ax^2 + bx + c và dx^2 + ex + f sao cho:

(x^4 - 3x^2 + 9) = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f)

Nhân hai đa thức bậc nhất ta được:

(x^4 - 3x^2 + 9) = adx^4 + (ae + bd)x^3 + (af + be + cd)x^2 + (bf + ce)x + cf

So sánh các hệ số của hai đa thức ta có hệ thức sau:

ad = 1
ae + bd = 0
af + be + cd = -3
bf + ce = 0
cf = 9

Từ hệ thức thứ nhất, ta có ad = 1, suy ra a = d = 1.

Từ hệ thức thứ hai, ta có ae + bd = 0, thay a = d = 1 vào ta được e + b = 0.

Từ hệ thức thứ ba, ta có af + be + cd = -3, thay a = d = 1 vào ta được f + e + b + c = -3.

Từ hệ thức thứ tư, ta có bf + ce = 0, thay a = d = 1 vào ta được b + c = 0.

Từ hệ thức thứ năm, ta có cf = 9, thay a = d = 1 vào ta được c = 9.

Từ hệ thức b = -e và c = 9, ta có b = -e và c = 9.

Thay b = -e vào hệ thức b + c = 0 ta được -e + 9 = 0, suy ra e = 9.

Như vậy, ta có c = 9, b = -9, e = 9, a = d = 1.

Thế vào hệ thức ta có f + 9 - 9 + 9 = -3, suy ra f = -12.

Nhưng ta thấy rằng f = -12, không thể thỏa mãn hệ thức cf = 9.

Vậy đa thức không thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất, từ đó suy ra đa thức không có nghiệm.