Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BF và CE cắt nhau tại H. Chứng minh tam giác EDF vuông khi (AF/AB)^2 = 1/2. Biết tam giác AEF đồng dạng tam giác ACB và tam giác BHE đồng dạng tam giác ACB

Để chứng minh tam giác EDF vuông, ta sẽ sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.

Ta có tam giác AEF đồng dạng tam giác ACB, nên ta có:
$\frac{AF}{AB} = \frac{EF}{CB}$

Tương tự, ta có tam giác BHE đồng dạng tam giác ACB, nên ta có:
$\frac{BH}{BC} = \frac{HE}{CB}$

Kết hợp hai công thức trên, ta có:
$\frac{AF}{AB} \cdot \frac{BH}{BC} = \frac{EF}{CB} \cdot \frac{HE}{CB}$
$\Rightarrow \frac{AF}{AB} \cdot \frac{BH}{BC} = \frac{EF \cdot HE}{CB^2}$

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại C, nên $CB^2 = AC^2 + AB^2$

Do đó, ta có:
$\frac{AF}{AB} \cdot \frac{BH}{BC} = \frac{EF \cdot HE}{AC^2 + AB^2}$

Với điều kiện $(\frac{AF}{AB})^2 = \frac{1}{2}$, ta có:
$\frac{AF}{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Khi đó, ta có:
$\frac{BH}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy ta có tam giác BHC vuông tại H, từ đó suy ra tam giác EDF cũng vuông tại D.