Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BE (E thuộc AC). Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho BH = AB

a) Ta có BE là đường phân giác của tam giác ABC nên $\angle ABE = \angle CBE$.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\angle ABE = 90^\circ - \angle ABC$ và $\angle CBE = 90^\circ - \angle ACB$.

Do đó, $\angle ABE + \angle CBE = (90^\circ - \angle ABC) + (90^\circ - \angle ACB) = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 90^\circ$, suy ra HE vuông góc BC.

b) Ta có BH = AB nên tam giác ABH là tam giác cân tại B.

Do đó, BE là đường phân giác của góc ABH nên BE là đường trung trực của AH.

c) Ta có $\angle AKE = \angle HCE$ (cùng là góc nội tiếp trên cùng cung HE).

Và ta đã chứng minh được BE là đường trung trực của AH nên tam giác AKE = tam giác HCE (cùng có góc nhọn bằng nhau).

d) Ta có $\angle AEC = \angle ABC < 90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A).

Và $\angle EAC = \angle EAB + \angle BAC = \angle EHB + \angle ABC = \angle ABC + \angle ABC = 2\angle ABC < 180^\circ$.

Vậy theo định lý cosin trong tam giác AEC, ta có $AE^2 < AC^2 = EC^2$, suy ra AE < EC.