1. Để chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m, ta cần chứng minh rằng Δ = (2(m + 1))^2 - 4(3m - 1) > 0 với mọi m.

Simplify Δ:
Δ = 4m^2 + 8m + 4 - 12m + 4
Δ = 4m^2 - 4m + 8
Δ = 4(m^2 - m + 2)

Để Δ > 0, ta cần chứng minh rằng m^2 - m + 2 > 0 với mọi m.

Đạo hàm của hàm số f(m) = m^2 - m + 2 là f'(m) = 2m - 1. Ta thấy rằng f'(m) > 0 với mọi m, nghĩa là hàm số f(m) tăng dần với m. Vì vậy, f(m) luôn lớn hơn 0 với mọi m.

Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

2. Để tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x_{1}, x_{2} là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng √26, ta cần giải hệ phương trình sau:
x_{1} + x_{2} = 2(m + 1)
x_{1} * x_{2} = 3m - 1

Với x_{1}, x_{2} là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông, ta có:
x_{1}^2 + x_{2}^2 = (√26)^2
x_{1}^2 + x_{2}^2 = 26

Từ đó, ta có:
(x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1} * x_{2} = 26
(2(m + 1))^2 - 2(3m - 1) = 26
4m^2 + 8m + 4 - 6m + 2 = 26
4m^2 + 2m - 20 = 0
2m^2 + m - 10 = 0

Giải phương trình trên ta được m = 2 hoặc m = -5. Tuy nhiên, với m = -5, phương trình (1) không thỏa mãn điều kiện Δ > 0.

Vậy, m = 2 là giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.