a) Để chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m, ta sẽ chứng minh rằng định thức của ma trận hệ số của phương trình luôn khác 0.

Ma trận hệ số của phương trình là:
\[\begin{pmatrix} 1 & -(m+1) \\ 1 & m \end{pmatrix}\]

Định thức của ma trận này là:
\[1 \times m - -(m+1) \times 1 = m + m + 1 = 2m + 1\]

Với mọi giá trị của m, định thức này luôn khác 0, do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Ta có phương trình x^2 = (m+1)x + m = 0.
Theo định lý Viète, ta có:
x1 + x2 = -(m+1)
x1x2 = m

Ta cần tính giá trị của biểu thức A = x1^2 + x2^2.
Ta có:
A = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (-(m+1))^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1

Vậy giá trị của biểu thức A = x1^2 + x2^2 theo m là m^2 + 1.