a) Để chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m, ta sẽ chứng minh rằng định thức của ma trận hệ số của phương trình luôn khác 0.

Ma trận hệ số của phương trình là:
\[
\begin{pmatrix}
1 & -(m+1) \\
m & 0
\end{pmatrix}
\]

Định thức của ma trận này là: det = 1*0 - (-1)*(m) = m ≠ 0 với mọi m.

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Ta có phương trình x^2 - (m+1)x + m = 0 có hai nghiệm x1 và x2.

Theo định lý Viète, ta có:
x1 + x2 = m + 1
x1*x2 = m

Ta cần tính giá trị của biểu thức A = x1^2 + x2^2.

Ta có:
A = x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (m + 1)^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1

Vậy giá trị của biểu thức A = x1^2 + x2^2 theo m là m^2 + 1.