Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, tia phân giác góc B cắt AC tại D

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

1. Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
2. Tam giác vuông có phân giác góc vuông chia cạnh đối vuông thành hai phần bằng nhau.
3. Trong tam giác vuông, trung điểm của đỉnh vuông đều nằm trên đường phân giác góc vuông.

a. Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên tam giác ABD cũng vuông tại D.
- Ta có AB = BE (do BE = BA) nên tam giác ABD và tam giác EBD là tam giác cân tại A và E.
- Do đó, ta có BD = AD và BD = ED.
- Vậy, tam giác ABD = tam giác EBD (do có hai cạnh bằng nhau).

b. Ta có:
- Vì AH vuông góc với BC nên tam giác AHD vuông tại H.
- Theo định lí phân giác góc, ta có: AD = DC.

c. Gọi I là trung điểm của DH. Ta cần chứng minh ba điểm A, O, I thẳng hàng.
- Ta có: DI = AH (theo điều kiện đề bài).
- Vì O là trung điểm của DH nên DO = OH.
- Khi đó, ta có tam giác DIO là tam giác cân tại I.
- Vì tam giác DIO là tam giác cân nên ta có AI là đường phân giác góc tại A của tam giác ADO.
- Như vậy, ba điểm A, O, I thẳng hàng.

Vậy, các điều cần chứng minh đã được chứng minh.