a) Ta có E là trung điểm của AB nên AE = EB.
Ta có DF = FB nên DB = 2DF = 2FB.
Vậy ta có: AD = AE + EB = 2DF + FB = DB + FB = BC.
Do đó, ta chứng minh được AD = BC.

b) Ta có HE = EC nên HC = 2HE = 2EC.
Vậy ta có: AH = AE + HC = AE + 2HE = AE + EC = AC.
Do đó, ta chứng minh được A là trung điểm của HD.

c) Ta có CD//AB tương đương với CD//EF.
Vì E là trung điểm của AB nên CD//EF.
Do đó, ta chứng minh được CD//AB.

d) Ta có AP là đường chéo của tứ giác ABCP nên cần chứng minh AP là đường phân giác của góc BAC.
Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có AI = IC (vì E là trung điểm của AC) và BI = ID (vì D là trung điểm của FB).
Vậy ta có tứ giác AIBC là hình bình hành.
Do đó, ta có góc BAI = góc ICB = góc BCP.
Vậy AP là đường phân giác của góc BAC.
Tương tự, ta có BD là đường phân giác của góc ABC và CH là đường phân giác của góc ACB.
Vậy ta chứng minh được AP, BD, CH đồng quy.