Tìm các số nguyên x; y biết y.y - xy - 2x - 1 = 0

Để giải phương trình trên, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thiện bình phương như sau:

Ta có phương trình: \(y^2 - xy - 2x - 1 = 0\)

Chuyển vế: \(y^2 - xy = 2x + 1\)

Thêm và trừ bình phương của nửa hệ số của x vào cả hai vế:

\(y^2 - xy + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 2x + 1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow y^2 - xy + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 2x + 1 + \frac{x^2}{4}\)

\(\Rightarrow (y - \frac{x}{2})^2 = 2x + 1 + \frac{x^2}{4}\)

\(\Rightarrow (y - \frac{x}{2})^2 = \frac{4x + 4 + x^2}{4}\)

\(\Rightarrow (y - \frac{x}{2})^2 = \frac{x^2 + 4x + 4}{4}\)

\(\Rightarrow (y - \frac{x}{2})^2 = \left(\frac{x + 2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow y - \frac{x}{2} = \pm \frac{x + 2}{2}\)

\(\Rightarrow y = \frac{x}{2} \pm \frac{x + 2}{2}\)

\(\Rightarrow y = \frac{x \pm x + 2}{2}\)

\(\Rightarrow y = \frac{2x + 2}{2}\) hoặc \(y = \frac{0}{2}\)

\(\Rightarrow y = x + 1\) hoặc \(y = 0\)

Vậy các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình là (x, y) = (n, n+1) hoặc (x, y) = (n, 0) với mọi số nguyên n.