Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho (P): y = x^2 và (d): y = 2(m + 1)x + 8. Chứng minh (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1; y2); B(x2; y2) với mọi m 

a) Để chứng minh (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2), ta giải hệ phương trình:
y = x^2 và y = 2(m+1)x + 8

Ta có: x^2 = 2(m+1)x + 8
=> x^2 - 2(m+1)x - 8 = 0

Để có 2 nghiệm phân biệt, ta cần Δ = b^2 - 4ac > 0
Δ = (2(m+1))^2 - 4*1*(-8) = 4m^2 + 8m + 4 + 32 = 4m^2 + 8m + 36

Vì Δ > 0, nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Để tính khoảng cách từ điểm A đến Oy và từ điểm B đến Oy, ta cần tìm tọa độ của A và B.

Gọi A(x1; y1) và B(x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình y = x^2 và y = 2(m+1)x + 8.

Từ phần a), ta đã tìm được x1 và x2, ta có:
y1 = x1^2 và y2 = x2^2

Khoảng cách từ điểm A đến Oy là x1, khoảng cách từ điểm B đến Oy là x2.

Theo điều kiện bài toán, ta cần tìm m sao cho khoảng cách từ A đến Oy gấp 2 lần khoảng cách từ B đến Oy:
|x1| = 2|x2|

Với x1 và x2 là nghiệm của phương trình x^2 - 2(m+1)x - 8 = 0.

Suy ra, m là nghiệm của phương trình |x1| = 2|x2|, với x1 và x2 là nghiệm của phương trình x^2 - 2(m+1)x - 8 = 0.