Để biểu thức P có giá trị nguyên, ta cần giải phương trình 3x^2 + 2x + 4 = n với n là số nguyên.

Để giải phương trình trên, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = (-b ± √Δ) / 2a với Δ = b^2 - 4ac.

Ở đây, a = 3, b = 2, c = 4. Ta tính Δ:

Δ = 2^2 - 4*3*4 = 4 - 48 = -44

Vì Δ < 0 nên phương trình không có nghiệm nguyên.

Vậy không có giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.