05/05 09:55:29

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

3 trả lời

+ Trả lời +2đ

Hỏi gia sư

Học gia sư

Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi

Ta có:
S = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/2022^2 + 1/2023^2
= 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/4088169 + 1/4088169
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2022 - 1/2023
= 1 - 1/2023
= 2022/2023

Ta có: 1/2 < 2022/2023 < 1
⇔ 1/2 < S < 1
⇔ 1/2 < S < 3/4

Vậy ta đã chứng minh được rằng 1/2 < S < 3/4.

3 trả lời

Thưởng th.10.2024

Xếp hạng

ta có:1/[n*(n+1)] = 1/n -1/(n+1)
1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100²
< 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101)
mà 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101)
=1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 +....+1/100 - 1/101
=1/2 - 1/101 = 99/202<3/4
=>1/2< 1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² < 3/4

Để chứng minh rằng \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{4} \), ta sẽ so sánh \( S \) với các giá trị biên \( \frac{1}{2} \) và \( \frac{3}{4} \).

1. **So sánh với \( \frac{1}{2} \):**

Để chứng minh \( S > \frac{1}{2} \), ta cần chứng minh tổng \( S \) lớn hơn \( \frac{1}{2} \).

Đầu tiên, ta có thể chia mỗi số mũ ở mẫu thành dạng \( 2^2 \):

\[ S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} \]

Với mỗi số mũ ở mẫu, ta có:

\[ \frac{1}{k^2} > \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \]

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[ S > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \]

Các thành phần trong dấu ngoặc đều tương hợp và trừ đi nhau hết, chỉ còn lại \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2024} \), là một số dương. Do đó:

\[ S > \frac{1}{2} \]

2. **So sánh với \( \frac{3}{4} \):**

Để chứng minh \( S < \frac{3}{4} \), ta cần chứng minh tổng \( S \) nhỏ hơn \( \frac{3}{4} \).

Làm tương tự như trên, ta có:

\[ S < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} \]

Số hạng cuối cùng \( \frac{1}{2024} \) là một số dương nhỏ hơn \( \frac{1}{2} \), nên:

\[ S < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2} \]

Điều này dẫn đến:

\[ S < 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024} < \frac{3}{4} \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{4} \).

Trả lời nhanh trong 10 phút và nhận thưởng

Xem chính sách

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4 Toán học - Lớp 6 Toán học Lớp 6

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI

Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội
Fanpage:	https://www.fb.com/lazi.vn
Group:	https://www.fb.com/groups/lazi.vn
Kênh FB:	https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB
LaziGo:	https://go.lazi.vn/join/lazigo
Discord:	https://discord.gg/4vkBe6wJuU
Youtube:	https://www.youtube.com/@lazi-vn
Tiktok:	https://www.tiktok.com/@lazi.vn

Bài tập liên quan

Chia số tự nhiên a cho 7 dư 5, chia số b cho 7 dư 3, chia số c cho 7 dư 2. Tìm số dư khi a, chia a+b cho 7 b, chia a+b+c cho 7 (Toán học - Lớp 6)

1 trả lời

Trắc nghiệm Toán học Lớp 6 mới nhất

Vui	Buồn	Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

Bảng xếp hạng thành viên

11-2024 10-2024 Yêu thích

Trang chủ	Giải đáp bài tập	Đố vui	Ca dao tục ngữ	Liên hệ	Tải ứng dụng Lazi
Giới thiệu	Hỏi đáp tổng hợp	Đuổi hình bắt chữ	Thi trắc nghiệm	Ý tưởng phát triển Lazi
Chính sách bảo mật	Trắc nghiệm tri thức	Điều ước và lời chúc	Kết bạn 4 phương	Xem lịch
Điều khoản sử dụng	Khảo sát ý kiến	Xem ảnh	Hội nhóm	Bảng xếp hạng
Tuyển dụng	Flashcard	DOL IELTS Đình Lực	Mua ô tô	Bảng Huy hiệu
	Thơ văn danh ngôn	Từ điển Việt - Anh	Đề thi, kiểm tra	Xem thêm

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

Phân số nào bằng -2/5 (Toán học - Lớp 6)

Tìm x (Toán học - Lớp 6)

Thực hiện phép tính sau (Toán học - Lớp 6)

10 1/2 - (x + 1/3)^2 = 1 1/2 (Toán học - Lớp 6)

10 1/2 - (x + 1/3)^2 = 1 1/2 (Toán học - Lớp 6)

(2x - 3) (13 - x) = 0 (Toán học - Lớp 6)

(x + 1,5) : 3 1/5 = -5/8 (Toán học - Lớp 6)

Tìm x, biết (Toán học - Lớp 6)

Thực hiện phép tính (Toán học - Lớp 6)

X + 30% = -1,3 (Toán học - Lớp 6)

Tìm hai số nguyên dương biệt a + 2b - 48 và UCLN(a; b) + 3, BCNN(a; b) = 114 (Toán học - Lớp 6)

Tìm a, b biết a + b = 42 và BCNN(a; b) = 72 (Toán học - Lớp 6)

Tìm a, b biết a + b = 42 và BCNN(a; b) = 72 (Toán học - Lớp 6)

Tìm UCLN của 2n-1 và 9n+1 với n ∈ ℕ (Toán học - Lớp 6)

Chứng minh rằng (Toán học - Lớp 6)

Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43 (Toán học - Lớp 6)

Chia số tự nhiên a cho 7 dư 5, chia số b cho 7 dư 3, chia số c cho 7 dư 2. Tìm số dư khi a, chia a+b cho 7 b, chia a+b+c cho 7 (Toán học - Lớp 6)

Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số sao cho n chia 8 dư 7, chia cho 31 dư 28 (Toán học - Lớp 6)

Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia 8 dư 7, chia cho 31 dư 28 (Toán học - Lớp 6)

Tìm ước của - 25 (Toán học - Lớp 6)

Cho mOn^=a và 0° < a < 90° thì góc mOn là

Cho hình vẽ: Hình nào chỉ có một góc vuông?

Cho hình vẽ dưới đây Góc trong hình là:

Điền số thích hợp vào chỗ trống: Hình chữ nhật trên có ..... góc vuông.

Cho xOy^=a, mà 90° < a < 180°. Thì góc xOy là góc: A. Góc vuông; B. Góc nhọn; C. Góc tù; D. Góc bẹt.

Cho số đo các góc sau: 15°; 35°; 45°; 80°; 90°; 115°; 120°; 150°; 180°. Trong đó, có số góc nhọn là

Cho số đo các góc sau: 15°; 35°; 45°; 80°; 90°; 115°; 120°; 150°; 180°. Trong đó, có số góc tù là

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho các góc: góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc bẹt. Thứ tự sắp xếp số đo các góc từ bé đến lớn là

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

Đăng nhập

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời