05/05 09:55:29

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

3 trả lời

Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi

Ta có:
S = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/2022^2 + 1/2023^2
= 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/4088169 + 1/4088169
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2022 - 1/2023
= 1 - 1/2023
= 2022/2023

Ta có: 1/2 < 2022/2023 < 1
⇔ 1/2 < S < 1
⇔ 1/2 < S < 3/4

Vậy ta đã chứng minh được rằng 1/2 < S < 3/4.

3 trả lời

Thưởng th.8.2024

Xếp hạng

ta có:1/[n*(n+1)] = 1/n -1/(n+1)
1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100²
< 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101)
mà 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101)
=1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 +....+1/100 - 1/101
=1/2 - 1/101 = 99/202<3/4
=>1/2< 1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² < 3/4

Để chứng minh rằng \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{4} \), ta sẽ so sánh \( S \) với các giá trị biên \( \frac{1}{2} \) và \( \frac{3}{4} \).

1. **So sánh với \( \frac{1}{2} \):**

Để chứng minh \( S > \frac{1}{2} \), ta cần chứng minh tổng \( S \) lớn hơn \( \frac{1}{2} \).

Đầu tiên, ta có thể chia mỗi số mũ ở mẫu thành dạng \( 2^2 \):

\[ S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} \]

Với mỗi số mũ ở mẫu, ta có:

\[ \frac{1}{k^2} > \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \]

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[ S > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \]

Các thành phần trong dấu ngoặc đều tương hợp và trừ đi nhau hết, chỉ còn lại \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2024} \), là một số dương. Do đó:

\[ S > \frac{1}{2} \]

2. **So sánh với \( \frac{3}{4} \):**

Để chứng minh \( S < \frac{3}{4} \), ta cần chứng minh tổng \( S \) nhỏ hơn \( \frac{3}{4} \).

Làm tương tự như trên, ta có:

\[ S < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} \]

Số hạng cuối cùng \( \frac{1}{2024} \) là một số dương nhỏ hơn \( \frac{1}{2} \), nên:

\[ S < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2} \]

Điều này dẫn đến:

\[ S < 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024} < \frac{3}{4} \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{4} \).

Trả lời nhanh trong 10 phút và nhận thưởng

Xem chính sách

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4 Toán học - Lớp 6 Toán học Lớp 6

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI

Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội
Fanpage:	https://www.fb.com/lazi.vn
Group:	https://www.fb.com/groups/lazi.vn
Kênh FB:	https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB
LaziGo:	https://go.lazi.vn/join/lazigo
Discord:	https://discord.gg/4vkBe6wJuU
Youtube:	https://www.youtube.com/@lazi-vn
Tiktok:	https://www.tiktok.com/@lazi.vn

Bài tập liên quan

Cho tam giác ABC cân tại A, M là một điểm nằm trên BC sao cho MB < MC. I là một điểm trên đoạn AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho góc CAx bằng góc BAM. N là một điểm trên Ax sao cho AN = AI (Toán học - Lớp 6)

0 trả lời

Cho tam giác ABC cân tại A, M là một điểm nằm trên BC sao cho MB < MC. I là một điểm trên đoạn AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho góc CAx bằng góc BAM. N là một điểm trên Ax sao cho AN = AI (Toán học - Lớp 6)

0 trả lời

So sánh 5^3 và 3^5 không tính (Toán học - Lớp 6)

2 trả lời

Xem thêm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui	Buồn	Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

Bảng xếp hạng thành viên

09-2024 08-2024 Yêu thích

Trang chủ	Giải đáp bài tập	Đố vui	Ca dao tục ngữ	Liên hệ	Tải ứng dụng Lazi
Giới thiệu	Hỏi đáp tổng hợp	Đuổi hình bắt chữ	Thi trắc nghiệm	Ý tưởng phát triển Lazi
Chính sách bảo mật	Trắc nghiệm tri thức	Điều ước và lời chúc	Kết bạn 4 phương	Xem lịch
Điều khoản sử dụng	Khảo sát ý kiến	Xem ảnh	Hội nhóm	Bảng xếp hạng
Tuyển dụng	Flashcard	DOL IELTS Đình Lực	Mua ô tô	Bảng Huy hiệu
	Thơ văn danh ngôn	Từ điển Việt - Anh	Đề thi, kiểm tra	Xem thêm

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

Phân số nào bằng -2/5 (Toán học - Lớp 6)

Tìm x (Toán học - Lớp 6)

Thực hiện phép tính sau (Toán học - Lớp 6)

10 1/2 - (x + 1/3)^2 = 1 1/2 (Toán học - Lớp 6)

10 1/2 - (x + 1/3)^2 = 1 1/2 (Toán học - Lớp 6)

(2x - 3) (13 - x) = 0 (Toán học - Lớp 6)

(x + 1,5) : 3 1/5 = -5/8 (Toán học - Lớp 6)

Tìm x, biết (Toán học - Lớp 6)

Thực hiện phép tính (Toán học - Lớp 6)

X + 30% = -1,3 (Toán học - Lớp 6)

Tìm x biết 45 - 5(x + 4) = 10 (Toán học - Lớp 6)

Rút gọn các biểu thức sau (Toán học - Lớp 6)

Tìm b để A có giá trị nhỏ nhất. Tìm b để A có giá trị lớn nhất (Toán học - Lớp 6)

Tính (Toán học - Lớp 6)

Trong các số tự nhiên từ 1 đến 40, có bao nhiêu số chính phương? (Toán học - Lớp 6)

Tìm x biết (Toán học - Lớp 6)

Tìm x biết (x + 20)^3 + 14 = 41 (Toán học - Lớp 6)

Cho tam giác ABC cân tại A, M là một điểm nằm trên BC sao cho MB < MC. I là một điểm trên đoạn AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho góc CAx bằng góc BAM. N là một điểm trên Ax sao cho AN = AI (Toán học - Lớp 6)

Cho tam giác ABC cân tại A, M là một điểm nằm trên BC sao cho MB < MC. I là một điểm trên đoạn AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho góc CAx bằng góc BAM. N là một điểm trên Ax sao cho AN = AI (Toán học - Lớp 6)

So sánh 5^3 và 3^5 không tính (Toán học - Lớp 6)

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

Đăng nhập

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời