05/05 09:55:29

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

3 Xem trả lời

+ Trả lời +2đ

Hỏi gia sư

+500k

102

Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi

Ta có:
S = 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/2022^2 + 1/2023^2
= 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/4088169 + 1/4088169
= 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2022 - 1/2023
= 1 - 1/2023
= 2022/2023

Ta có: 1/2 < 2022/2023 < 1
⇔ 1/2 < S < 1
⇔ 1/2 < S < 3/4

Vậy ta đã chứng minh được rằng 1/2 < S < 3/4.

3 trả lời

Thưởng th.11.2024

Xếp hạng

Đấu trường tri thức +500K

ta có:1/[n*(n+1)] = 1/n -1/(n+1)
1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100²
< 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101)
mà 1/(2*3) +1/(3*4) +1/(4*5) + ... +1/(100*101)
=1/2 - 1/3 +1/3 -1/4 +....+1/100 - 1/101
=1/2 - 1/101 = 99/202<3/4
=>1/2< 1/2² + 1/3² + 1/4² +...+1/100² < 3/4

Để chứng minh rằng \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{4} \), ta sẽ so sánh \( S \) với các giá trị biên \( \frac{1}{2} \) và \( \frac{3}{4} \).

1. **So sánh với \( \frac{1}{2} \):**

Để chứng minh \( S > \frac{1}{2} \), ta cần chứng minh tổng \( S \) lớn hơn \( \frac{1}{2} \).

Đầu tiên, ta có thể chia mỗi số mũ ở mẫu thành dạng \( 2^2 \):

\[ S = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2023^2} \]

Với mỗi số mũ ở mẫu, ta có:

\[ \frac{1}{k^2} > \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \]

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\[ S > \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \ldots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \]

Các thành phần trong dấu ngoặc đều tương hợp và trừ đi nhau hết, chỉ còn lại \( \frac{1}{2} - \frac{1}{2024} \), là một số dương. Do đó:

\[ S > \frac{1}{2} \]

2. **So sánh với \( \frac{3}{4} \):**

Để chứng minh \( S < \frac{3}{4} \), ta cần chứng minh tổng \( S \) nhỏ hơn \( \frac{3}{4} \).

Làm tương tự như trên, ta có:

\[ S < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} \]

Số hạng cuối cùng \( \frac{1}{2024} \) là một số dương nhỏ hơn \( \frac{1}{2} \), nên:

\[ S < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2} \]

Điều này dẫn đến:

\[ S < 1 - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024} < \frac{3}{4} \]

Vậy, ta đã chứng minh được \( \frac{1}{2} < S < \frac{3}{4} \).

Trả lời nhanh trong 10 phút và nhận thưởng

Đấu trường tri thức +500K

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4 Toán học - Lớp 6 Toán học Lớp 6

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI

Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Câu hỏi mới nhất

Cho m là số tự nhiên lẻ n là số tự nhiên chứng minh m và mxn+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau (Toán học - Lớp 8)

0 trả lời

Trong thí nghiệm chứng minh quá trình vận chuyển nước ở thân, có thể sử dụng hóa chất nào dưới đây? (Sinh học - Lớp 11)

1 trả lời

Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox. Kẻ tia Az vuông góc với Ox sao cho các điểm thuộc tia Az đều là điểm nằm trong (Toán học - Lớp 7)

0 trả lời

Nguyên lí của thí nghiệm chứng minh quá trình hấp thụ nước ở rễ là dựa vào? (Sinh học - Lớp 11)

1 trả lời

Nếu giả sử trên trái đất này không có Châu Á? (Địa lý - Lớp 7)

1 trả lời

Xem thêm

Câu hỏi liên quan

Lan sử dụng nồi cơm điện để nấu cơm, khi cắm điện nấu được 5 phút thì nghe tiếng lách tách (Công nghệ - Lớp 6)

2 trả lời

Vui	Buồn	Bình thường

Bảng xếp hạng thành viên

12-2024 11-2024 Yêu thích

Trang chủ	Giải đáp bài tập	Đố vui	Ca dao tục ngữ	Liên hệ	Tải ứng dụng Lazi
Giới thiệu	Hỏi đáp tổng hợp	Đuổi hình bắt chữ	Thi trắc nghiệm	Ý tưởng phát triển Lazi
Chính sách bảo mật	Trắc nghiệm tri thức	Điều ước và lời chúc	Kết bạn 4 phương	Xem lịch
Điều khoản sử dụng	Khảo sát ý kiến	Xem ảnh	Hội nhóm	Bảng xếp hạng
Tuyển dụng	Flashcard	DOL IELTS Đình Lực	Mua ô tô	Bảng Huy hiệu
Đấu trường tri thức	Thơ văn danh ngôn	Từ điển Việt - Anh	Đề thi, kiểm tra	Xem thêm

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

Cho m là số tự nhiên lẻ n là số tự nhiên chứng minh m và mxn+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau (Toán học - Lớp 8)

Trong thí nghiệm chứng minh quá trình vận chuyển nước ở thân, có thể sử dụng hóa chất nào dưới đây? (Sinh học - Lớp 11)

Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc tia Ox. Kẻ tia Az vuông góc với Ox sao cho các điểm thuộc tia Az đều là điểm nằm trong (Toán học - Lớp 7)

Nguyên lí của thí nghiệm chứng minh quá trình hấp thụ nước ở rễ là dựa vào? (Sinh học - Lớp 11)

Nếu giả sử trên trái đất này không có Châu Á? (Địa lý - Lớp 7)

Lan sử dụng nồi cơm điện để nấu cơm, khi cắm điện nấu được 5 phút thì nghe tiếng lách tách (Công nghệ - Lớp 6)

Mọi công dân có trách nhiệm như thế nào để phòng chống tệ nạn xã hội (Giáo dục Công dân - Lớp 7)

Tính thành phân % về khôi lượng các nguyên tô trong hợp chất sau (Hóa học - Lớp 7)

Excuse me, can you show me the way to ____ gas station (Tiếng Anh - Lớp 6)

Vì sao người ta thường dùng đèn compact và đèn LED trong chiếu sáng ngày nay (Công nghệ - Lớp 6)

Cho S=1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/2022^2+1/2023^2. Chứng tỏ rằng 1/2 < S < 3/4

Đăng nhập

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời