Để chứng minh rằng đa thức N(x) = 4x^4 + x^2 + 4 không có nghiệm, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử tồn tại một số thực x sao cho N(x) = 0. Khi đó, ta có:

4x^4 + x^2 + 4 = 0

Ta có thể quan sát thấy rằng với mọi giá trị của x, các thành phần trong đa thức đều lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, tổng của chúng cũng lớn hơn hoặc bằng 0.

Vì vậy, không thể có một số thực x nào khiến cho N(x) = 0. Do đó, đa thức N(x) = 4x^4 + x^2 + 4 không có nghiệm.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng đa thức N(x) = 4x^4 + x^2 + 4 không có nghiệm.