a)chứng minh rằng AD chia góc HAC thành hai góc bằng nhau.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có:
∠BAC + ∠ABC = 90°

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
∠BAH + ∠CAH = 90°

Do BD = BA, ta có:
∠ABD = ∠BAD

Từ hai phương trình trên, ta có thể suy ra:
∠BAC + ∠ABC = ∠BAH + ∠CAH
∠BAC = ∠BAH + ∠CAH

Vậy, tia AD chia góc HAC thành hai góc bằng nhau, do đó tia AD là tia phân giác của góc HAC.

b) Để chứng minh AK = AH, ta cần chứng minh rằng tam giác AKD và tam giác AHD đồng dạng.

Vì DK vuông góc với AC, nên ta có:
∠DKA + ∠AKC = 90°

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
∠AHD + ∠AHB = 90°

Do BD = BA, ta có:
∠ABD = ∠BAD

Từ hai phương trình trên, ta có thể suy ra:
∠DKA + ∠AKC = ∠AHD + ∠AHB
∠DKA = ∠AHD

Vậy, tam giác AKD và tam giác AHD đồng dạng. Do đó, ta có AK = AH.