Cho tam giác ABCD có 3 góc nhọn, Gọi BI, CK là 2 đường cao cắt nhau tại M

a) Ta có:
$\angle ABI = \angle ACK$ (do $BI \perp CK$)
$\angle BAI = \angle CAK$ (cùng chung $\angle BAC$)
$\Rightarrow \triangle ABI \sim \triangle ACK$ (theo góc - góc)

b) Gọi $h$ là độ dài đường cao từ $A$ đến $BC$. Ta có:
$BM \cdot BI = h \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}$
$BM \cdot CK = h \cdot BC \cdot \sin{\angle ACB}$
$\Rightarrow BM \cdot BI + BM \cdot CK = h \cdot BC \cdot (\sin{\angle ABC} + \sin{\angle ACB})$
$= h \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} \cdot \cos{\angle ACB} + h \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC} \cdot \sin{\angle ACB}$
$= h \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} \cdot \cos{\angle ACB} + h \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} \cdot \cos{\angle ABC}$
$= h \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}$
$= BC^2$ (do $ABCD$ là tam giác vuông tại $B$)
Vậy $BM \cdot BI + BM \cdot CK = BC^2$.