Cho x, y là các số thực dương x^2 + 2xy + 2y^2 - 2y = 8

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2/x) + (4/y) - y, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của x và y thoả mãn điều kiện x^2 + 2xy + 2y^2 - 2y = 8.

Đặt f(x, y) = (2/x) + (4/y) - y.

Ta có:
f(x, y) = (2/x) + (4/y) - y
f(x, y) = 2/x + 4/y - y
f(x, y) = 2/x + 4/y - y
f(x, y) = 2/x + 4/y - y
f(x, y) = 2/x + 4/y - y

Đạo hàm của f theo x:
∂f/∂x = -2/x^2

Đạo hàm của f theo y:
∂f/∂y = -4/y^2 - 1

Để tìm giá trị nhỏ nhất của f(x, y), ta cần giải hệ phương trình sau:
∂f/∂x = 0
∂f/∂y = 0

-2/x^2 = 0
=> x = √2

-4/y^2 - 1 = 0
=> y = -2 hoặc y = 2

Vì y là số thực dương nên ta chọn y = 2.

Khi đó, x = √2 và y = 2.

Thay x = √2 và y = 2 vào biểu thức f(x, y) = (2/x) + (4/y) - y, ta được:
f(√2, 2) = (2/√2) + (4/2) - 2
f(√2, 2) = √2 + 2 - 2
f(√2, 2) = √2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2/x) + (4/y) - y là √2.