Chứng minh rằng với mọi tham số m thì (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Để chứng minh rằng với mọi tham số m thì parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt, ta cần xác định điểm cắt giữa (P) và (d).

Để tìm điểm cắt giữa (P) và (d), ta giải hệ phương trình giữa (P) và (d):
- Thay y=xẻ vào phương trình của đường thẳng (d), ta được: xẻ = 2(m+2)x - 2m - 1
- Tương đương với: (2(m+2)-1)x - xẻ = 2m + 1
- Đặt t = 2(m+2)-1, ta có: tx - xẻ = 2m + 1
- Tương đương với: tx - xẻ - 2m - 1 = 0
- Tương đương với: (t-1)x - xẻ - 2m - 1 = 0

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt, ta cần tính delta của phương trình trên:
Δ = (-xẻ - 2m - 1)^2 - 4(t-1)(-xẻ)
= xẻ^2 + 4xẻm + 4m^2 + 4m + 1 - 4(t-1)(-xẻ)
= xẻ^2 + 4xẻm + 4m^2 + 4m + 1 + 4(t-1)xẻ
= xẻ^2 + 4xẻm + 4m^2 + 4m + 1 + 4(2(m+2)-1)xẻ
= xẻ^2 + 4xẻm + 4m^2 + 4m + 1 + 8(m+2)xẻ - 4xẻ
= xẻ^2 + 4xẻm + 4m^2 + 4m + 1 + 8xẻm + 16xẻ - 4xẻ
= xẻ^2 + 8xẻm + 4m^2 + 4m + 1 + 16xẻ
= (xẻ + 4m + 1)^2 > 0

Vậy với mọi tham số m, parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt.