Cho đường tròn (O;R) với dây BC cố định (BC không qua tâm)

dây BC tại B.

a) Ta có OA vuông góc BC tại I, do đó AI là đường phân giác của góc BAC. Khi đó, ta có góc BAI = góc CAI.
Hai tam giác AIB và AHC đồng dạng (cùng có một góc vuông và góc A chung), từ đó suy ra góc AHC = góc AIB = góc BAI = góc CAI.
Vậy A, I, H, C cùng thuộc một đường.

b) Ta có góc AEB = góc ADB (do ABED là tứ giác nội tiếp), góc ADB = góc ACH (do AD//CH), góc ACH = góc AIE (do AI//CH).
Vậy góc AEB = góc AIE.
Hai tam giác AEB và AIE đồng dạng (cùng có góc E chung), từ đó suy ra AE/IE = BE/EA.
Từ đó, ta có AE^2 = IE*BE = IA*IB (do tứ giác AEIB nội tiếp).
Vậy AD*AE = AI*AB^2.

c) Ta có góc AEB = góc ADB = góc ACB (do AB//CD), từ đó suy ra ABED là tứ giác nội tiếp.
Gọi F là giao điểm của AB và CD. Ta có góc AFB = góc ACB = góc AEB, từ đó suy ra ABED nội tiếp.
Vậy đường tròn ngoại tiếp ABED tiếp xúc với dây BC tại B.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.