a) Ta có:
$\angle AHD = \angle BAD$ (cùng nằm trên cùng một cạnh BD)
$\angle ADH = \angle ADB$ (cùng nằm trên cùng một cạnh AD)
Vậy $\Delta AHD \sim \Delta BAD$ (theo góc)

b) Ta có:
$\frac{AB}{AD} = \frac{4}{3} = \frac{BD}{DH}$
$\Rightarrow BD = \frac{4}{3} \times DH$
Vì $\Delta AHD \sim \Delta BAD$ nên $\frac{AB}{AD} = \frac{BD}{DH}$
$\Rightarrow \frac{4}{3} = \frac{4}{3} \times DH$
$\Rightarrow DH = 3cm$
Vậy $BD = 4cm$ và $DH = 3cm$

c) Ta có:
$I$ là trung điểm của $CD$ nên $CI = ID$
Vì $I$ là trung điểm của $CD$ nên $CI = \frac{1}{2}CD$
Vậy $CI = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \times 4 = 2cm$
Vậy $ID = 2cm$

Gọi $X$ là giao điểm của $AH$ và $CD$
Ta có $\frac{AK}{KH} = \frac{AD}{DH} = \frac{3}{3} = 1$
Vậy $AK = KH$
Vậy $K$ là trung điểm của $AH$

Vậy $AK = KH = \frac{1}{2}AH$
Vậy $CK = \frac{1}{2}CD = 2cm$
Vậy $CK = 2cm$

Gọi $Y$ là giao điểm của $BN$ và $CD$
Ta có $\frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AD} = \frac{4}{3}$
Vậy $\frac{BM}{MD} = \frac{4}{3}$
Vậy $BM = \frac{4}{7}CD = \frac{4}{7} \times 4 = \frac{16}{7}cm$
Vậy $MD = \frac{3}{7}CD = \frac{3}{7} \times 4 = \frac{12}{7}cm$

Vậy $MY = BM - MD = \frac{16}{7} - \frac{12}{7} = \frac{4}{7}cm$
Vậy $NY = MY = \frac{4}{7}cm$

Ta có $\frac{BN}{NE} = \frac{BY}{YM} = \frac{4}{4} = 1$
Vậy $BN = NE$
Vậy $E$ là trung điểm của $BN$

Vậy $CE = \frac{1}{2}BN = \frac{1}{2} \times 4 = 2cm$
Vậy $CE = 2cm$

Vậy $DK = CE = 2cm$