a) Ta có:
$\angle AHD = \angle BAD$ (cùng nằm trên cùng một cạnh BD)
$\angle ADH = \angle ADB$ (cùng nằm trên cùng một cạnh AD)
Vậy, theo góc - cạnh - góc, ta có $\Delta AHD \sim \Delta BAD$.

b) Ta có:
$\frac{AB}{AD} = \frac{BD}{DH}$
$\frac{4}{3} = \frac{BD}{DH}$
$\Rightarrow BD = \frac{4}{3} \times DH$

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Do đó, ta có $\Delta ACD \sim \Delta BDC$.
Từ đó, ta có $\frac{AC}{CD} = \frac{CD}{BD}$
$\Rightarrow \frac{AC}{3} = \frac{3}{\frac{4}{3} \times DH}$
$\Rightarrow AC = \frac{9}{4} \times DH$

Vậy, ta có $AC = \frac{9}{4} \times DH = 3 \Rightarrow DH = \frac{4}{3}$

c) Ta có $I$ là trung điểm của $CD$ nên $CI = ID = \frac{3}{2}$.
Vì $AH \parallel CD$ nên $\frac{AK}{KC} = \frac{AD}{DC} = \frac{3}{3} = 1$
$\Rightarrow AK = KC$

Từ tam giác $AMK$ ta có $\frac{AK}{KM} = \frac{AD}{DM} = \frac{3}{DM}$
$\Rightarrow DM = \frac{3}{2}$

Từ tam giác $MIN$ ta có $\frac{MI}{IN} = \frac{DM}{DN} = \frac{\frac{3}{2}}{DN}$
$\Rightarrow DN = \frac{4}{3}$

Vậy, ta có $CE = CD - DE = CD - DN = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ và $DK = DC - KC = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
Do đó, $DK = CE$.